скорее всего, проблема в датчике положения коленвала (ДПКВ) или в топливной рампе — на горячую теряется давление из-за обратного клапана насоса или форсунок. У меня на Хонде похожая фигня была после пробок: пока двигатель горячий, электрика глючит, а на холодную — идеально. Сначала смотри контакты ДПКВ и массу на блоке, часто окисляются, потом проверь давление топлива на запуске теплого — если падает быстро, то лечить рампу или насос.
На холодную норм, на горячую схватывает с трудом — смотри датчик температуры охлаждающей жидкости и датчик положения распредвала, они часто плавают от нагрева.
Похоже на датчик положения коленвала или распредвала — на горячую они часто начинают плавать, проверь их сопротивление и проводку.
Добрый вечер! Судя по симптомам, скорее всего проблема в датчике коленвала — на горячую его сопротивление уплывает, и мозги теряют синхронизацию. У меня на Королле похожая хрень была, только на Duster товарища — тоже на горячую не схватывал, а стартер бодро крутил. Еще глянь датчик распредвала и клапан EGR, они на Note любят коксоваться, особенно после пробок. Check Engine тебе код сам подскажет, считай его первым делом.